MSA 4 Lösen von Gleichungen - Teil 1: Bestimme die Lösungsmenge

Lernvideo - MSA 4 Lösen von Gleichungen - Teil 1: Bestimme die Lösungsmenge

Das Lösen von Gleichungen ist ein grundlegendes Thema in der Mathematik und muss verstanden worden sein, um spätere Themen verstehen zu können. Daher gibt es hier eine Ergänzungsreihe an Videos, die Übungsaufgaben bearbeiten, welche im MSA-Vorbereitungskurs als Übungen für Zuhause mitgegeben wurden. Damit diese Übungen auch etwas bringen, ist es ratsam, sich das Video erst anzuschauen, wenn man diese Übungen bearbeitet hat.

Jede Gleichung ist ein Term mit einer vorgegebenen Lösung, die man jedoch nicht sofort erkennt. Es gilt beim Lösen von Gleichungen, diese Lösungen auszurechnen. Dazu werden logische Operatoren benutzt, damit man die Gleichung so umformen kann, dass man die Lösung erkennt, und dass sich dabei die Lösungen nicht ändern. Diese logischen Operatoren nennt man Äquivalenzumformungen. Sie werden angewandt, indem man einen Rechenschritt auf einer Seite der Gleichung genau so auch auf der anderen Seite der Gleichung anwendet. Das heißt zum Beispiel, dass, wenn man die Zahl 3 auf eine Seite der Gleichung dazu addiert, so muss diese Zahl auch auf der anderen Seite der Gleichung dazu addiert werden, damit sich die Gleichheit nicht ändert. Somit bleibt auch die Lösung der Gleichung gleich, auch, wenn sie nach der Äquivalenzumformung anders aussieht.

Die Lösungsmenge gibt alle Zahlen an, die man für die Variable x benutzen kann, sodass die Gleichung stimmt. Es gibt Gleichungen, die keine Lösung besitzen; deren Lösungsmenge also die leere Menge ist. Andere Gleichungen haben unendlich viele Lösungen, weil man jede Zahl einsetzen kann, damit die Gleichung stimmt. Um zu sehen, welche Zahlen man einsetzen kann, muss man die Gleichung so umformen, dass man am Ende auf einer Seite nur noch die Variable x und auf der anderen Seite eine Zahl stehen hat. Manchmal kommt der Fall, dass eine allgemeine Lösung stehen bleibt wie 0 = 0. Dann hat die Gleichung unendlich viele Lösungen, da eine wahre Aussage am Ende steht, die nicht von der Variablen abhängig ist.

Das Lösen von Gleichungen ist essentiell und muss unbedingt beherrscht werden, wenn man weitere Themen in der Mathematik verstehen will oder soll!