MSA 3 Potenzen und Wurzeln - Teil 2: scientific notation
Lernvideo - MSA 3 Potenzen und Wurzeln - Teil 2: scientific notation
Bei diesem Video handelt es sich um die Fortsetzung des Videobeitrags zum dritten Teil des Lernwerk-MSA-Vorbereitungskurses. Es geht also auch hierin wieder um Potenzen und insbesondere um die sogenannte „Scientific Notation“ – d.h. wissenschaftliche Schreibweise – von sehr großen oder sehr kleinen Zahlen.
Die Scientific Notation hilft dabei, sehr große und sehr kleine Zahlen einfacher bzw. kürzer auszudrücken, ohne sie vom tatsächlichen Wert her zu verändern. Grundsätzlich basiert die Scientific Notation u.a. auf der Überlegung, dass sehr kleine Zahlen („klein“ meint hier nahe bei Null) vor dem Komma nur eine Null und hinter dem Komma viele Nullen in den ersten Nachkommastellen zu stehen haben. Vor allem interessiert uns die Anzahl der Nullen, die zwischen dem Komma und der ersten Nachkommastelle, die von Null verschieden ist, stehen.
Ein Beispiel ist die Zahl: 0,000307
Drei Nullen stehen zwischen dem Komma und der ersten Nachkommastelle, die nicht Null ist.
Da solche Zahlen viele (Nachkomma-)Stellen besitzen und dementsprechend sehr „lang“ sind, hat man sich einen Trick überlegt, wie man sie kürzer schreiben kann, ohne ihren Wert zu verändern. Wir wissen: Wenn man eine Zahl mal Zehn rechnet, verschiebt sich das Komma um eine Stelle nach rechts (Bsp.: 0,000307 * 10 = 00,00307). Damit würden nun zwei Nullen vor dem Komma stehen, da man jedoch davon nur eine schreibt, hat die Zahl, die wir erhalten, eine Stelle weniger als unsere Anfangszahl. Zwar haben wir damit unseren Schreibaufwand verringert, jedoch haben wir auch den Wert unserer Zahl verändert, indem wir mal Zehn gerechnet haben. Um wieder unseren alten Wert zu erhalten, müsste man die neue Zahl durch Zehn teilen. Weil man jedoch lieber eine kürzere Zahl schreiben möchte, bleiben wir bei der neuen Zahl und schreiben einfach dahinter, dass man durch 10 teilen müsste, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten. In dem letzten Videobeitrag hatten wir gesehen, dass falls man durch eine Zahl teilen möchte, auch mal diese Zahl hoch -1 rechnen kann.
Für unser Beispiel bedeutet das: 0,000307 = 0,00307 * 10–1 (mal 10 –1 heißt geteilt durch 10)
Wiederholt man diesen Vorgang, erhält man jedes Mal eine weitere 10 –1 als Faktor hinter der Zahl. Diese lässt sich mit Hilfe der Potenzgesetze auch zusammenfassen.
(Bsp.: 10 –1 * 10 –1 = 10 –2 , 10 –1 * 10 –1 * 10 –1 = 10 –3.)
In unserem Beispiel: 0,000307 = 0,00307 * 10 –1 = 0,0307 * 10 –2 = 0,307 * 10 –3 = 3,07 * 10 –4
Wir haben gesehen, dass man sehr kleine Zahlen auf diesem Weg als ein Produkt aus einer Zahl zwischen 1 und 10 und einer Zehnerpotenz schreiben kann. Genau diese Form ist dann die sogenannte Scientific Notation.
Es ließ sich, insbesondere an unserem Beispiel, erkennen, dass uns der negative Exponent der Zehnerpotenz anzeigt, um wie viele Stellen das Komma nach rechts verschoben wurde. Aus dieser Erkenntnis können wir die folgende Eselsbrücke für das Umformen in die Scientific Notation ableiten:
Scientific Notation für sehr kleine Zahlen:
- Komma um so viele Stellen nach rechts verschieben, dass die erste Ziffer, die nicht Null ist, als Einerstelle vor dem Komma steht
- mal 10 – (Anzahl der Stellen, um die das Komma nach rechts verschoben wird)
Bsp.: 0,000007280366 = 7,280366 * 10 –6
Für große Zahlen, die in den ersten Stellen eine „Reihe“ von Nullen haben, lässt sich sehr ähnlich vorgehen. Denn um diese kürzer zu schreiben, kann man das Komma nach links verschieben. Damit auch hier der Wert der Zahl unverändert bleibt, muss man dann die neue Zahl mit Zehn multiplizieren. Wird das Komma um mehrere Stellen verschoben, ergibt sich als Faktor folglich eine Zehnerpotenz mit positivem Exponenten.
(Bsp.: 32900 = 3290 * 101 = 329 * 102 = 32,9 * 103 = 3,29 * 104)
Für die Scientific Notation für sehr große Zahlen können wir also folgende Merksätze formulieren:
Scientific Notation für sehr große Zahlen:
- Komma um so viele Stellen nach links verschieben, dass nur eine Stelle vor dem Komma steht (hier darf keine Null stehen)
- mal 10 (Anzahl der Stellen, um die das Komma nach links verschoben wird)
Bsp.: 580810000 = 5,8081 * 108
Wenn man diese Regel „rückwärts anwendet“, kann man die Scientific Notation wieder leicht zurück umformen in eine „einfache“ Zahl ohne Zehnerpotenz.
