MSA 3 Potenzen und Wurzeln - Teil 1: Potenzen

Lernvideo - MSA 3 Potenzen und Wurzeln - Teil 1: Potenzen

Dieses Video ist eine Ergänzung zum dritten Teil des Lernwerk-MSA-Vorbereitungskurses. Hierin geht es um Potenzen und Wurzeln und die zugehörigen Gesetze.

Eine Potenz ist lediglich eine abkürzende Schreibweise für eine Multiplikation, bei der eine Zahl oder Variable mit sich selbst multipliziert wird. Hierbei schreibt man die Zahl bzw. Variable, die mit sich selbst multipliziert werden soll, als Basis der Potenz und die Anzahl der Faktoren dieser Multiplikation in den Exponenten der Potenz. Eine Potenz besteht also aus einer Basis und einem Exponenten und sagt uns, dass die Basis mit sich selbst multipliziert wird, wobei der Exponent vorgibt, wie oft die Basis als Faktor auftritt.

aⁿ  =       a * a * a * a … a * a

a steht n-mal als Faktor da

Damit wir mit Potenzen leichter rechnen können – um z.B. nicht jedes Mal die Potenz ausschreiben zu müssen –, gibt es spezielle Gesetze, die sogenannten Potenzgesetze. Eines der grundlegendsten Potenzgesetze besagt, dass die Potenz einer jeden Basis mit Null als Exponent gleich eins ist:

a⁰ = 1

Die Potenzgesetze helfen auch dabei, einzelne Potenzen umzuschreiben und mehrere Potenzen zusammenzufassen, sofern diese einen gemeinsamen Exponenten oder eine gemeinsame Basis besitzen.

aⁿ * a^m  = a^n+m

aⁿ * bⁿ  = (a*b)ⁿ

Darüber hinaus gibt es Regeln über das Vereinfachen von Potenzen von Potenzen und über die Möglichkeit des Umformens von Potenzen mit negativen Exponenten.

(aⁿ)^m  =  a^n*m

a^–n = 1/aⁿ                         (a darf hier nicht Null sein)

Mit den genannten Gesetzen ergeben sich dann weitere, z.B. für den Quotient aus Potenzen mit gleicher Basis und für die Potenz eines Quotienten.

aⁿ/a^m  =  a^n–m                 (a darf hier nicht Null sein)

(a/b)ⁿ  = aⁿ/bⁿ                   (b darf hier nicht Null sein)

Wurzeln sind eng verwandt mit Potenzen. Möchte man aus einer Zahl oder einem Ausdruck beispielsweise die Quadratwurzel ziehen, ist nach der Zahl oder dem Ausdruck gefragt, die bzw. der mit sich selbst multipliziert (d.h. „hoch zwei genommen“) das ergibt, was unter der Wurzel steht.
(Die Quadratwurzel kann man dementsprechend nur aus nichtnegativen Ausdrücken ziehen. Denn wenn es etwas geben soll, das mit sich selbst multipliziert wieder das ergibt, was unter der Wurzel steht, kann das unter der Wurzel nicht negativ sein, weil eine positive Zahl mit sich selbst multipliziert wieder eine positive Zahl ergibt und einen negative Zahl mit sich selbst multipliziert auch eine positive Zahl ergibt.)

√a² = a                             (Bsp.: √16 = 4 )

Neben der Quadratwurzel gibt es jedoch noch weitere „Arten“ von Wurzeln. Denn man könnte z.B. überlegen, welche Zahl man hoch drei nehmen muss, um eine vorgegebene Zahl zu erhalten. Die Lösung liefert in diesem Falle nicht die Quadratwurzel (auch ‚zweite Wurzel‘ genannt), sondern die dritte Wurzel.

³√a³ = a                            (Bsp.:    ³√8 = 2)

Diese Definitionen lassen sich für alle Wurzeln die es gibt verallgemeinern:

ⁿ√aⁿ = a

Auch für Wurzeln gibt es praktische Gesetze, die uns das Rechnen und den Umgang mit ihnen erleichtern:

ⁿ√(a*b) = ⁿ√(a) * ⁿ√(b)

ⁿ√(a/b) = ⁿ√(a) / ⁿ√(b)

Außerdem lassen sich Wurzeln als Potenzen umschreiben, wodurch sich Terme, in denen sowohl Potenzen als auch Wurzeln auftreten, deutlich leichter vereinfachen lassen.

ⁿ√(a) = a^1/n

Schließlich ergibt sich damit ein allgemeineres und äußerst nützliches Gesetz:

ⁿ√(a^m) = a^m/n  .