MSA 18 lineare Gleichungssysteme - Textaufgaben
Lernvideo - MSA 18 lineare Gleichungssysteme - Textaufgaben
Das Lösen von linearen Gleichungssystemen ist in der Mathematik sehr wichtig. Es wird in jedem Teilbereich gebraucht und auch im Alltag kann es manchmal nützlich sein. Die meisten Aufgaben zu linearen Gleichungen sind Textaufgaben, weshalb die Aufgaben in diesem MSA-Vorbereitungskurs auch Textaufgaben sind. Man muss also nicht nur lineare Gleichungssysteme lösen können, sondern durch gegebene Informationen welche erstellen können.
Eine wichtige Regel für lineare Gleichungssysteme ist:
Wenn die Anzahl der Variablen größer als die Anzahl der gegebenen Gleichungen ist, so gibt es keine eindeutige Lösung.
Das heißt, wenn zum Beispiel zwei Variablen gegeben sind und das lineare Gleichungssystem aus nur einer Gleichung besteht, so weiß man, dass es nicht nur eine Lösung gibt, sondern viele Lösungen geben muss.
Nun gibt es mehrere Verfahren, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Das Ziel jedes Verfahrens ist es, Variablen zu kürzen, sodass am Ende nur eine Gleichung mit einer Variablen stehen bleibt, welche sich durch Äquivalenzumformungen lösen lässt.
Das häufigste Verfahren ist das Additionsverfahren. Dazu nimmt man sich zwei Gleichungen, die eine Variable gemeinsam haben. Dazu müssen die beiden Gleichungen so umgeformt werden, dass vor der Variable die gleiche Zahl in beiden Gleichungen steht, jedoch das Vorzeichen unterschiedlich ist. Nun addiert man die linke Seite beider Gleichungen und die rechte Seite beider Gleichungen miteinander und erhält eine neue Gleichung. Da die Vorzeichen der Variablen in den Gleichungen unterschiedlich waren, fällt sie in der neuen Gleichung weg. Dies macht man solange, bis nur noch eine Variable übrig bleibt.
Das Subtraktionsverfahren ist im Prinzip genau gleich, nur das man eben die Seiten der Gleichungen subtrahiert statt addiert. Wichtig dabei ist, dass dieses Mal die Vorzeichen der Variablen gleich sind; und nicht unterschiedlich.
Als drittes Verfahren gibt es das Gleichsetzungsverfahren. Dazu löst man eine gegebene Gleichung nach einer Variablen auf. Dadurch hat man die Lösung einer Variablen durch die anderen Variablen gegeben. Diese Lösung kann man nun in die anderen Gleichungen einsetzen, wodurch diese Variable in keiner Gleichung mehr auftaucht.
