9.3 Bruchungleichungen

Lernvideo - 9.3 Bruchungleichungen

Wie der Name schon sagt, sind Bruchungleichungen eine Form von Ungleichungen, in denen Brüche vorkommen. Genauer gesagt kommt die Variable der Ungleichung auch im Nenner eines Bruchs vor, was einige Dinge komplizierter macht beim Berechnen der Lösungsmenge, denn man muss weitere Faktoren beachten. Der erste Schritt unterscheidet sich von der Vorgehensweise bei quadratischen Ungleichungen, da zuerst noch etwas beachtet werden muss, bevor man die Ungleichung umformt.

Zur Berechnung der Lösungsmenge bei Bruchungleichung geht man wie folgt vor:

1. Man passe die Definitionsmenge der Ungleichung an. Da möglicherweise für manche Zahlen der Nenner in einer Bruchungleichung 0 werden kann, was mathematisch nicht passieren kann, müssen diese Zahlen aus dem Definitionsbereich gestrichen werden. Erst danach kann man mit der Äquivalenzumformung beginnen, da sonst nicht mehr erkennbar ist, welche Zahlen ungültig sind.
2. Man formt die Bruchungleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen um, damit auf einer der beiden Seiten nur noch die 0 steht. Falls das Ungleichheitszeichen ein „gleich“ enthält, so löse man zuerst die Gleichheit, als ob es sich um eine normale Gleichung handele. Wenn im Definitionsbereich die Lösung vorkommt, so gehört diese Lösung auch letztendlich zur Lösungsmenge der Ungleichung.
3. Der letzte Schritt zur Lösung ist eine Fallunterscheidung. Ein Bruch ist nämlich genau dann größer bzw. kleiner Null, wenn die Vorzeichen von Zähler und Nenner gleich bzw. unterschiedlich sind. Das heißt, dass für jeden Fall zwei Berechnungen gemacht werden müssen. Falls die Bruchungleichung größer als 0 sein soll, so müssen Zähler und Nenner entweder größer oder kleiner Null sein, welches man berechnet und schaut, welcher Fall eintreten kann. Dieser Fall ist dann die Lösung für die Bruchungleichung. Falls der Bruch aber kleiner als 0 sein soll, so müssen die Vorzeichen unterschiedlich sein und man schaut, wann der Zähler positiv und der Nenner negativ ist und umgekehrt. Auch hier wieder die Fallunterscheidung, ob die Fälle eintreten können oder nicht. Der einzutretende Fall ist die Lösungsmenge für die Bruchungleichung.

Die komplette Lösungsmenge ergibt sich dann aus der Lösung aus Teil 2 und der Lösungsmenge aus Teil 3.