9.2 Quadratische Ungleichungen
Lernvideo - 9.2 Quadratische Ungleichungen
Quadratische Ungleichungen mögen für viele am Anfang etwas irritierend wirken, da die Lösung solcher Ungleichungen nicht mit dem übereinstimmt, was man bei normalen quadratischen Gleichungen vorfindet. Bei normalen Gleichungen erhält man als Ergebnis meist gewisse Zahlen, unendlich viele Zahlen oder eben die leere Menge als Lösungsmenge. Bei quadratischen Ungleichungen sind meist keine einzelnen Zahlen die Lösung, sondern Intervalle von Zahlen. Das heißt, dass ein gewisser Raum von Zahlen die Lösung für die Ungleichung darstellen und jede Zahl zwischen den Grenzen des Intervalls löst die Ungleichung.
Wie bei normalen Gleichungen auch ist es sinnvoll, die Ungleichung in die Nullform zu bringen, was heißt, dass durch Äquivalenzumformungen eine Seite der Ungleichung zu 0 gemacht wird. Dadurch lässt sich dann eine Lösungsstrategie festlegen, wie man quadratische Ungleichungen Schritt für Schritt lösen kann.
- Um zu sehen, wo die Grenzen der Lösungsmenge (des Intervalls) liegen, löst man zunächst die Ungleichung, als ob sie eine normale Gleichung wäre. Der Grund, warum man dies macht, ist recht einfach: Die Gleichung zeigt an, für welche Zahlen die Lösung exakt 0 ist. Mit der Ungleichung wird aber gefragt, für welche Zahlen die Ungleichung größer oder kleiner als 0 ist. Die Lösungsmenge kann logischerweise nur da Anfangen, wo die Zahlen stehen, für die die Ungleichung exakt 0 ist, weil danach die Lösung entweder größer oder kleiner werden muss. Mit Hilfe der p-q-Formel lässt sich die quadratische Gleichung ganz einfach lösen, wodurch man die Intervallgrenzen berechnet hat.
- Um nun zu erkennen, für welche Zahlen die Ungleichung erfüllt ist (größer oder kleiner 0), so ist es hilfreich, sich die Ungleichung als Funktion vorzustellen und sich eine grobe Skizze anzufertigen, wobei wichtig ist, wo die Nullpunkte, also die Lösungen aus dem ersten Schritt, liegen. Der Graph der Funktion kann nun entweder nach unten oder nach oben geöffnet sein und je nach Voraussetzung (ob die Ungleichung größer oder kleiner 0 sein soll) ergeben sich folgende Fälle:
- Die quadratische Funktion ist nach oben geöffnet und die Ungleichung sucht nach Werten größer als 0. Daraus folgt, dass für die Lösungsmenge gelten muss, dass x kleiner als die kleinere Nullstelle und größer als die größere Nullstelle sein muss, da für diese Werte, die Funktion größer als 0 ist.
- Die quadratische Funktion ist nach oben geöffnet und die Ungleichung sucht nach Werten kleiner als 0. Dies ist der umgekehrte Fall aus Fall 1, weshalb hier auch die Zahlen, die im ersten Fall nicht zur Lösungsmenge gehörten, die Ungleichung lösen. Also gilt für diesen Fall, dass die Lösungsmenge alle Zahlen zwischen den beiden Nullstellen ist.
- Die quadratische Funktion ist nach unten geöffnet und die Ungleichung sucht nach Werten größer als 0. Hier ist die Lösungsmenge die gleiche Menge wie im zweiten Fall, da nur für die Werte zwischen den Nullstellen der Funktionswert größer als 0 ist.
- Die quadratische Funktion ist nach unten geöffnet und die Ungleichung sucht nach Werten kleiner als 0. Dies ist wieder ähnlich dem Fall 1, da die Lösungsmenge aller Zahlen entspricht, die nicht im Intervall der Nullstellen liegen, die also kleiner als die kleine und größer als die große Nullstelle sind.
Falls bei der Ungleichung statt „kleiner als“ oder größer als“ nach „kleiner gleich“ oder „größer gleich“ gefragt wird, so gehören die Intervallgrenzen (also die Nullstellen) zur Lösungsmenge dazu, ansonsten nicht!
