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9.1 Lineare Ungleichungen

9.1 Lineare Ungleichungen

Lernvideo - 9.1 Lineare Ungleichungen

Manchmal will man in der Mathematik nicht nur wissen, wann ein Term bzw. eine Gleichung genau 0 ist, sondern wann diese größer oder kleiner als 0 sind. Nur mit Hilfe von Gleichungen ist dies nicht lösbar. Man muss auf sogenannte Ungleichungen zurückgreifen. Diese setzen zwei Zahlen in Relation zueinander und sagen aus, dass ein Wert größer oder kleiner als der andere ist. Um ein Beispiel zu geben:  2∗ ( 3 −4 )< 4 ist eine Ungleichung. Eine „lineare Ungleichung“ ist eine Ungleichung mit einer Variablen x, die nicht mit Potenzen, Wurzeln, etc. versehen ist. Zum Beispiel ist:  4x −3 >2x eine lineare Ungleichung.

Man kann lineare Ungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen genauso umformen wie normale Gleichungen, jedoch gibt es dabei eine Ausnahme zu beachten: solltest Du dabei mit einer negativen Zahl multiplizieren oder durch eine negative Zahl dividieren, so muss das Ungleichheitszeichen umgedreht werden. Dies muss sein, da zum Beispiel aus 1 < 5 folgt, dass -1 > -5 ist. Ansonsten lassen sich Ungleichungen genau so behandeln wie gewöhnliche Gleichungen. Das heißt also, dass Du eine lineare Ungleichung nach der Variablen „x“ auflösen und somit eine Lösungsmenge für „x“ angeben kannst. Das Ungewohnte an Ungleichungen im Gegensatz zu Gleichungen ist, dass die Lösungsmenge meistens keine genauen Zahlen für „x“ darstellt, sondern Intervalle, also Bereiche, in denen sich „x“ befinden darf. Das heißt dann, dass die Ungleichung gültig ist für alle „x“ in diesem Intervall. Um beim Beispiel zu bleiben: die Lösung von 4x – 3 > 2x wäre nach Äquivalenzumformung x > 1,5. Also wäre die Lösungsmenge das Intervall von allen Zahlen, die größer als 1,5 sind, also:  L ={x ∈ℝ∣x >1,5 } .

Die einzelnen Terme, die bei einer linearen Ungleichung auf beiden Seiten stehen, kann man auch als Funktionen von „x“ auffassen. „Lineare Ungleichungen“ heißen „linear“, weil, wenn man diese Funktionen in ein Koordinatensystem überträgt, erkennt, dass die einzelnen Terme jeweils eine Gerade beschreiben. Dies bedeutet, dass man eine lineare Ungleichung auch mit Hilfe eines Koordinatensystems zeichnerisch lösen kann. Man zeichnet einfach beide Seiten in ein Koordinatensystem ein und schaut, wann eine Gerade höher bzw. niedriger als die andere Gerade ist. Für alle „x“, für die die Bedingung gilt, ist die Ungleichung erfüllt.

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