8.11.5 Polinomdivision

Lernvideo - 8.11.5 Polinomdivision

Polynomgleichungen lassen sich in verschieden Varianten unterteilen und für jede verschiedene Variante gibt es eine eigene Lösungsstrategie. Jedoch gibt es auch Fälle, die man nicht einer Variante zuordnen kann, sprich, es handelt sich um einen allgemeinen Fall der Polynomgleichung. In solch einem Fall gibt es jedoch auch ein Hilfsmittel, um die Lösungen zu berechnen. Dazu wird ein neues Hilfsmittel eingeführt: die Polynomdivision.

Um die Polynomdivision einsetzen zu können, muss die Polynomgleichung erst einmal in die Nullform gebracht werden, was heißt, dass eine Seite der Polynomgleichung 0 sein muss und die andere Seite so weit wie möglich zusammengefasst sein sollte. Wenn man dann keine Variante der Polynome erkennen kann, muss man sich der Polynomdivision bedienen. Doch zuvor muss man eine Lösung erraten.

Bei der Polynomdivision teilt man das Polynom, wie beim schriftlichen Dividieren, durch die Lösungen der Gleichung. Dadurch entsteht ein kleineres Polynom, welches die gleichen Lösungen hat wie das ursprüngliche Polynom, nur ohne die Lösung, durch die geteilt wurde. Daher muss man zuerst eine Lösung erraten können, um mit der Polynomdivision beginnen zu können. Dies geht jedoch recht schnell, wenn man den Fakt benutzt, dass das absolute Glied einer Polynomgleichung das Produkt aller Nullstellen des Polynoms ist. Also setzt man alle Teiler des absoluten Glieds in die Gleichung ein und schaut, ob die richtige Lösung raus kommt. Falls ein Teiler gefunden wurde, der passt, so teilt man die ganze Polynomgleichung durch den Term (x-n) wobei n der gefundene Teiler ist.

Dabei wird die Variable wie eine Zahl behandelt. Das heißt, dass zum Beispiel x x²-mal in x³ passt, da x*x² = x³ ergibt. Da der Teiler eine Lösung der Gleichung ist, ergibt sich bei der Polynomdivision keinen Rest, wodurch ein kleineres Polynom entsteht, welches man solange weiterkürzt durch Polynomdivision, bis man eine Variante erkennt, die man lösen kann.