8.11.4 Biquadratische Gleichungen
Lernvideo - 8.11.4 Biquadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen scheinen auf den ersten Blick kompliziert zu sein und man kann nicht recht nachvollziehen, warum man diese von anderen Polynomgleichungen differenziert. Jedoch ergibt sich mit Hilfe einer beliebten Methode in der Mathematik eine einfache Lösungsstrategie für genau diesen Typ Gleichung. Dazu braucht man allerdings Kenntnisse über die p-q-Formel.
Um zu erkennen, ob es sich um eine biquadratische Gleichung handelt, muss man die Polynomgleichung erst einmal in die Nullform bringen, indem man durch Äquivalenzumformungen eine Seite der Gleichung 0 werden lässt. Danach muss man die andere Seite nochmals zusammenfassen, um zu sehen, welche Variante der Polynomgleichung vor einem liegt. Biquadratische Gleichungen erkennt man daran, dass zwei Potenzen der gleichen Variablen auftauchen, wobei die Hochzahl einer Potenz das Doppelte der Hochzahl der anderen Potenz ist.
Ziel der Methode ist es, biquadratische Polynome auf eine bekannte Form von Gleichungen zurückzuführen: die quadratischen Gleichungen (daher auch die Bezeichnung „biquadratisch“). Die Methode, die dazu verwendet wird, nennt man „Substitution“. Die Substitution bezeichnet den Vorgang, einen mathematischen Ausdruck durch einen anderen Ausdruck zu ersetzen, wodurch sich meist eine leichtere Lösung finden lässt. Hat man durch die Substitution eine Lösung gefunden, muss das „Ersetzen“ bzw. „Substituieren“ rückgängig gemacht werden, damit die Lösung für die ursprüngliche Gleichung gilt. Bei biquadratischen Gleichungen gilt der Fall, dass die zwei Potenzen der Variablen einen Zusammenhang haben: die Hochzahl der größeren Potenz ist doppelt so groß wie die andere Hochzahl. Substituiert man nun die Potenz mit der kleineren Hochzahl durch eine neue Variable ohne Exponenten, so erhält man für die größere Potenz die neue Variable zum Quadrat, da die Hochzahl ja doppelt so groß ist. Somit erhält man durch das Substituieren mit einer neuen Variablen eine quadratische Gleichung, die man nun mit Hilfe der p-q-Formel lösen kann.
