8.11.3 x ausklammern bei Polynomgleichungen

Lernvideo - 8.11.3 x ausklammern bei Polynomgleichungen

Eine weitere Variante von Polynomgleichungen sind Fälle, in denen das absolute Glied fehlt, was heißt, dass jede Zahl in der Polynomgleichung mit einer Potenz der Variablen steht. Aber wie bei Polynomgleichungen üblich, erkennt man die wahre Form erst, wenn man sie in die Nullform gebracht hat, da sonst Klammern und andere Schreibweisen die Form verdecken. Also sorge durch Äquivalenzumformungen dafür, dass eine Seite der Gleichung zu 0 wird und fasse die andere Seite weitestgehend zusammen.

Wenn jede Zahl mit einer Potenz der Variablen steht, so kann man sicher mindestens einmal die Variable ausklammern, was heißt, dass man jede Potenz um eins verkleinert, den Term in Klammern packt und diesen dann mit der Variable multipliziert. Somit entsteht also ein Produkt aus zwei Faktoren, wobei der erste Faktor die Variable und der zweite Faktor eine Polynomgleichung mit einem Grad niedriger als die ursprüngliche Gleichung ist. Da die andere Seite der Polynomgleichung 0 sein soll, muss also das Produkt 0 sein, weshalb sich durch den Nullproduktsatz ergibt, dass mindestens einer der beiden Faktoren 0 sein muss. Somit wäre dann eine Lösung für die Polynomgleichung gefunden: die 0, da ein Faktor ja die einzelne Variable war. Die anderen Lösungen findet man, indem man die „kleinere“ Polynomgleichung, die in Klammern steht, löst, da diese auch 0 werden kann, wodurch das Produkt 0 werden würde. Also gehören die Lösungen der „kleineren“ Polynomgleichung ebenso zu der ursprünglichen Gleichung dazu.