7.8 Ausklammern (Faktorisieren)
Lernvideo - 7.8 Ausklammern (Faktorisieren)
Beim Umformen von Termen kann es oft hilfreich sein, wenn man gewisse Umformungen rückgängig macht. Es ist leicht einzusehen, dass alle Termumformungen auch umkehrbar sind, was heißt, dass diese „rückwärts“ angewandt werden können. Besonders hilfreich kann dies bei der Multiplikation von Klammern sein. Das Ausmultiplizieren von Klammern funktioniert mit Hilfe des Distributivgesetzes. Das Umkehren dieses Gesetzes ist ebenfalls möglich und meist genau so hilfreich.
Das Umkehren des Distributivgesetzes nennt sich Faktorisieren und ist logischerweise das Gegenteil zum Ausmultiplizieren. Das bedeutet, dass keine Klammern aufgelöst werden, sondern dass Klammern gebildet werden. Der Grund dafür ist einfach: Wenn Summen ewig lang erscheinen, verliert man schnell den Überblick und um das zusammenzufassen, kann man Summen meist auch zu Klammern zusammenfassen, wodurch man einen gewissen Überblick behält. Außerdem wird einem manchmal erst dadurch klar, welche Struktur hinter einem Term steht und man erkennt, wie man damit besser rechnen kann.
Damit man einen Term faktorisieren kann, muss man sich also nur Überlegen, was das Gegenteil zum Ausmultiplizieren ist. Beim Ausmultiplizieren wird jede Zahl innerhalb einer Klammer mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Das heißt, jede Zahl in der neuen Summe enthält den Faktor, der vor der Klammer stand. Falls also in einer Summe oder einer Differenz jeder Summand als Produkt geschrieben werden kann, wobei alle Zahlen einen gemeinsamen Faktor haben, so lässt sich das Distributivgesetz „rückwärts“ anwenden und man bildet eine Klammer, wobei die Zahlen in der Klammer alle Zahlen aus der Summe sind und diese durch den gemeinsamen Faktor geteilt wurden. Der Faktor vor der Klammer ist dann der gemeinsame Faktor.
Zur Probe kann man das Distributivgesetz anwenden und schauen, ob sich die ursprüngliche Summe bzw. Differenz ergibt, die es zu vereinfachen galt. Da jede Zahl in der Klammer durch den Faktor geteilt wurde, der vor der Klammer stand, ergeben sich nach dem Anwenden des Distributivgesetzes wieder die ursprünglichen Zahlen.
