5.1.6 Nenner rational machen
Lernvideo - 5.1.6 Nenner rational machen
Wurzeln sind Zahlen, wie jede andere Zahl auch, weshalb man auch durch sie teilen kann; auch, wenn man sich das nicht wirklich vorstellen kann, was das anschaulich bedeuten mag. Dennoch kommt es des Öfteren vor, dass eine Wurzel, oder noch schlimmer, eine Summe aus Wurzeln im Nenner eines Bruchs steht. Dies mag zwar im ersten Moment nicht weiter schlimm erscheinen, jedoch behindert es meist weitere Rechnungen. Der Grund dafür ist simpel: Wurzeln lassen sich meist nicht komplett zusammenfassen. Rationale Zahlen (Zahlen, die sich durch Brüche darstellen lassen) allerdings schon, weshalb es wünschenswert ist, einen Nenner mit rationalen Zahlen zu haben, statt mit Wurzeln. Glücklicherweise gibt es eine Methode, wie man Brüche rationalisieren kann, wodurch dann die Wurzeln im Nenner zu rationalen Zahlen umgeformt werden.
Dabei gilt es, zwei Fälle zu beachten, wobei beide Fälle auf dem gleichen Prinzip beruhen: dem Erweitern des Bruchs. Zuerst der einfachere Fall: besteht der Nenner nur aus einem Produkt oder einem Quotienten, so muss der Bruch lediglich mit der Wurzel selbst nochmal erweitert werden. Das heißt, der Zähler und der Nenner werden mit der Wurzel, die weg soll, multipliziert. Der Grund dafür, warum man das macht, ist einfach: eine Quadratwurzel, die mit sich selbst multipliziert wird, löst sich auf und nur der Radikand bleibt zurück. Dieser Fall tritt im Nenner auf, der Zähler jedoch bleibt mit der Wurzel zurück, aber das ist weniger schlimm.
Der etwas kompliziertere Fall behandelt Nenner, die aus Summen oder Differenzen bestehen. Hier muss man eine Lösung finden, wie man den Bruch erweitern kann, damit die Wurzel verschwindet. Einfach mit der Wurzel zu erweitern wird nicht funktionieren, da jeder Summand im Nenner mit der Wurzel multipliziert werden muss und somit die Wurzel an einem Summanden 'hängen' bleibt. Jedoch gibt es auch hier eine Methode: die 3. Binomische Formel! Multipliziert man eine Summe bestehend aus zwei Summanden mit der Differenz der beiden Zahlen, so ergibt sich eine Differenz mit den Quadratzahlen der beiden Summanden; es werden also beide Zahlen in der Summe quadriert, womit keine Quadratwurzel übrig bleiben kann. Um also einen Nenner zu rationalisieren, der aus einer Summe oder einer Differenz besteht, erweitert man den Bruch mit einer Klammer, die den Nenner enthält, kehrt aber das Rechenzeichen um.
