5.1.4 Potenzen von Quadratwurzeln

Lernvideo - 5.1.4 Potenzen von Quadratwurzeln

Die Wurzelfunktion hängt sehr stark mit dem Thema Potenzen zusammen, denn für Wurzeln gelten die gleichen Rechenregeln wie für Potenzen. Das führt zum Versuch, Wurzeln zu potenzieren und zu schauen, was sich dabei ergibt.

Am Besten veranschaulicht man sich das Potenzieren von Wurzeln anhand eines Beispiels mit Quadratwurzeln. Als erstes Beispiel dient das Quadrat einer Quadratwurzel. Dabei ist der Radikand irgendeine positive Zahl. Benutzt man nun die Potenzschreibweise und schreibt das Quadrat aus, so steht dort ein Produkt aus zwei Faktoren, welche beide der Wurzel entsprechen. Wurzeln multipliziert man, indem man die Radikanden multipliziert und das Ergebnis unter eine Wurzel packt. Da die Radikanden beide gleich sind, ergibt sich eine Quadratzahl unter der Quadratwurzel. Der Wurzelwert dieser Quadratzahl ist gerade wieder der Radikand von der Wurzel am Anfang. Das heißt: wenn eine Quadratwurzel quadriert wird, so löst sich die Wurzel einfach auf und als Ergebnis bleibt der Radikand der Wurzel stehen.

Allerdings gibt es noch andere Exponenten statt der Zahl zwei, weshalb nun geschaut wird, wie es mit anderen Exponenten ungleich zwei aussieht. Dazu betrachtet man zuerst gerade Exponenten, also welche, die durch zwei teilbar sind. Ist dies der Fall, so lässt sich der Exponent als ein Produkt mit der Zahl zwei und einer weiteren Zahl „n“ beschreiben. Durch das fünfte Potenzgesetz lässt sich die Potenz mit dem Produkt als Exponenten umschreiben in eine doppelte Potenz. Damit ist gemeint, dass es sich als Potenz einer Potenz umschreiben lässt. Dabei ist die erste Potenz die Wurzel mit der Hochzahl zwei. Diese Potenz wird nun mit der Hochzahl „n“ nochmal potenziert. Aus dem ersten Beispiel weiß man, dass das Quadrat einer Quadratwurzel dem Radikanden entspricht, weshalb als Ergebnis nur noch der Radikand mit der Hochzahl „n“ bleibt.

Bei ungeraden Exponenten sieht es ähnlich aus. Dabei kann man nämlich ausnutzen, dass sich eine ungerade Zahl als Summe aus einer geraden Zahl und der Zahl 1 umschreiben lässt. Dabei ist die gerade Zahl genau um eins kleiner als die ungerade Zahl. Mit dem dritten Potenzgesetz kann man diese Potenz als Produkt zweier Potenzschreiben, wobei der erste Faktor eine Potenz mit der Wurzel als Basis und der Zahl 1 als Exponent ist und der zweite Faktor die gleiche Basis hat, aber die gerade Zahl als Hochzahl. Eine Potenz mit der Eins als Exponenten ist einfach nur die Basis, also die Wurzel. Das Potenzieren von Wurzeln mit geradem Exponent ergibt den Radikanden mit der Hälfte des Exponenten als Hochzahl.