5.1.1 Quadratwurzeln - Definition
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Quadratzahlen sind natürliche Zahlen, die aus der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst entstehen. Zum Beispiel ist die Zahl 25 eine Quadratzahl, da sie aus der Multiplikation 52=5∗5=25 entsteht. Hat man nun aber eine Zahl und möchte wissen, welche Zahl man quadrieren muss, um die vorhandene Zahl zu erhalten, so kann man aus der Zahl die Quadratwurzel ziehen. Wenn man aus einer Zahl die Quadratwurzel zieht, so erhält man die gesuchte Zahl. Dies schreibt man so: √25=√(52)=5 .
Man überzeugt sich leicht, dass eine Zahl, aus der man die Wurzel ziehen möchte, eine positive Zahl sein muss, da zwei gleiche Zahlen multipliziert immer eine positive Zahl ergibt („-“ mal „-“ ergibt „+“). Die Zahl, die unter der Wurzel steht, nennt sich auch Radikand und das Ergebnis wird auch Wurzelwert genannt. Der Wurzelwert beinhaltet, bis auf eine Ausnahme, immer genau zwei Zahlen: natürlich zuerst die offensichtliche Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Radikand ergibt, jedoch ist das Negative der ersten Zahl auch eine Lösung, da das Produkt zwei negativer Zahlen wieder positiv ist. Die Ausnahme macht die Zahl 0, da als Ergebnis nur die 0 in Frage kommt.
Das ganze klingt zunächst recht einfach, jedoch gibt es natürlich auch Zahlen, die nicht aus einem Produkt zwei gleicher ganzen Zahlen bestehen. Für solche Zahlen benötigt man einen Taschenrechner, denn Quadratwurzeln im Kopf zu berechnen ist ein zu großer Rechenaufwand. Allerdings kann man mit einem kleinen Trick das Ergebnis der Quadratwurzel, also den Wurzelwert, gut einordnen. Dazu schaut man einfach, zwischen welchen zwei Quadratzahlen der Radikand liegt. Der Wurzelwert liegt dann zwischen den Quadratwurzeln der zwei Quadratzahlen. Als Beispiel: √ 36≤√ 47 ≤√ 49 . Die Zahl 47 liegt natürlich zwischen 36 und 49, woraus sich dann also ergibt: 6≤ √ 47≤7 . Der Wurzelwert liegt also zwischen 6 und 7. Die kann man immer weiter fortführen und sich so an den Wurzelwert annähern.
Übrigens gilt eine Regel, wenn der Radikand eine negative Zahl ist. Quadratwurzeln sind nur für positive Radikanden definiert und daher gibt es keinen Wurzelwert für eine negative Zahl. Per Definition ist also die Wurzel für negative Radikanden nicht lösbar.
