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4.7 Potenzen mit negativem Exponenten 2 

4.7 Potenzen mit negativem Exponenten 2 

Lernvideo - 4.7 Potenzen mit negativem Exponenten 2 

Da sich Potenzen mit negativen Exponenten als Bruch mit der Potenz mit positivem Exponenten im Nenner schreiben lassen, ist es interessant, zu untersuchen, wie das Ganze aussieht, wenn die Basis der Potenz selbst ein Bruch ist.

Also schaut man sich zunächst nochmal kurz an, wie Potenzen mit negativen Exponenten umschrieben werden können. Es gilt:

a−n=1/an.

Nun soll die Basis „a“ ein Bruch sein, woraus sich ein Bruch ergibt, der einen anderen Bruch als Nenner hat. Dies sollte man noch vereinfachen, da Brüche in Brüchen nur unnötig viel Mühe beim Rechnen machen. Mit den Regeln der Bruchrechnung folgt, dass man eine Zahl durch einen Bruch teilt, indem man die Zahl mit dem Kehrbruch multipliziert. Da in diesem Fall der Zähler des großen Bruchs eine 1 ist, wird dieser einfach mit dem Nenner der Basis multipliziert und der Zähler der Basis bleibt im Nenner des großen Bruchs stehen. Falls also gilt:

a = b/c =>  (b/c)−n=1/(b/c)n=1/(bn/cn)=cn/bn=(c/b)n.

Das heißt also nichts anderes, als dass man Potenzen mit negativen Exponenten und Brüchen als Basen umschreiben kann als Potenzen mit gleichen, aber positiven Exponenten und den Kehrbrüchen als Basen. Beim ersten Schritt der Herleitung hat man die Umschreibung von Potenzen mit negativen Exponenten benutzt. Der zweite Schritt gelingt durch das 2. Potenzgesetz und der dritte Schritt war eine einfache Bruchrechenregel. Der letzte Schritt ist wieder das 2. Potenzgesetz.

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