4.6 Potenzen mit negativen Exponenten
Lernvideo - 4.6 Potenzen mit negativen Exponenten
Vor allem beim 4. Potenzgesetz kann einem auffallen, dass es möglich ist, Potenzen mit negativem Exponenten zu haben. Was genau das heißt und wie man mit diesen Potenzen rechnet, soll hier erklärt werden. Außerdem ergibt sich dabei, was es eigentlich heißt, eine Zahl 0-mal mit sich selbst zu multiplizieren. Die Antwort auf diese Frage ist nicht trivial!
Um die Frage zu beantworten, was eine Potenz mit negativer Hochzahl ist, betrachtet man einen Bruch mit Potenzen gleicher Basis, wobei der Exponent der Potenz im Zähler kleiner sein soll als der Exponent der Potenz im Nenner. Mit Hilfe der Potenzschreibweise kann man beide Potenzen nun ausschreiben und den Bruch nach den Rechenregeln für Brüche kürzen. Damit bleiben im Nenner noch einige Male die Basis stehen und es ergibt sich:
an/am=1/a( m−n).
Allerdings gilt nach dem 4. Potenzgesetz auch:
an/am=a( n− m).
Die beiden Ausdrücke müssen also gleich sein und da (m-n) nichts anderes ist als -(n-m) gilt also:
a−( n− m)=1/a( n− m),
was bedeutet, dass man eine Potenz mit negativem Exponenten einfach in den Nenner eines Bruchs verlagern kann, wodurch der Exponent positiv wird. Übrigens lässt sich mit diesem Trick auch leicht herleiten, was eine Potenz mit 0 als Exponenten darstellt. Falls nämlich n=m gilt, folgt:
an/an=a( n−n )=a0 , wobei offensichtlich ist, dass an/an=1 ist.
Eine Potenz mit dem Exponenten 0 ist also immer gleich 1. Dies gilt übrigens auch, wenn die Basis der Potenz die Zahl 0 selbst ist. Anders formuliert ergibt sich also, dass eine Zahl 0-mal mit sich selbst multipliziert immer 1 ergibt.
