4.5 5. Potenzgesetz

Lernvideo - 4.5 5. Potenzgesetz

Das 5. Potenzgesetz ist das Letzte der Potenzgesetze und befasst sich mit der Frage, wie man Potenzen wieder potenzieren kann. Dies ist durchaus möglich und es wird hier nun eine Regel dafür hergeleitet. Wie für die anderen Potenzgesetze auch, nutzt man dafür einfach die Umschreibung der Potenzschreibweise und die Regeln der Multiplikation.

Falls Potenzen potenziert werden sollen, so sieht der Term dafür zunächst ziemlich kompliziert aus und am besten fängt man damit an, die Klammern mit Hilfe der Potenzschreibweise auszuschreiben, um einen Überblick zu kriegen, was mit dem Term eigentlich gemeint ist. ( aⁿ)^m besagt, dass die Zahl oder der Term „a“ zuerst n-mal mit sich selbst multipliziert und danach der Term aⁿ nochmal m-mal mit sich selbst multipliziert werden soll. Mit der Potenzschreibweise kann man das wie folgt umschreiben:

( aⁿ)^m= aⁿ∗... ∗aⁿ=( a∗a∗.. ∗a ) ∗(a∗a∗.. ∗a ) ∗...∗ ( a∗a∗..∗a )=a^(n∗m).

Dabei wird aⁿ m-mal ausgeschrieben und dann jedes aⁿ noch n-mal als „a“ ausgeschrieben. Da bei der Multiplikation die Reihenfolge egal ist, kann man die Klammern weglassen und „a“ steht insgesamt n*m-mal da, weshalb sich mit der Potenzschreibweise  a^(n∗m) ergibt.

Somit sieht man, dass sich beim Potenzieren von Potenzen die Basis nicht ändert und die Exponenten lediglich miteinander multipliziert werden müssen. Mit diesem 5. Potenzgesetz sind nun alle Potenzgesetze gegeben, die später sehr wichtig sein werden für Gleichungen, Funktionen, etc.