4.4 4. Potenzgesetz

Lernvideo - 4.4 4. Potenzgesetz

Man kann auch Potenzen mit gleicher Basis und unterschiedlichen Exponenten durcheinander teilen. Wie das geht, besagt das 4. Potenzgesetz, welches hier hergeleitet werden soll. Doch zuerst kommt hier das vierte Potenzgesetz:

Für zwei Potenzen mit gleicher Basis aⁿ und a^m gilt Folgendes:

aⁿ/a^m=a^{( n− m)}.

Dieses Potenzgesetz besagt also einfach, dass bei einer Division zweier Potenzen gleicher Basis einfach nur die Differenz zwischen den beiden Exponenten gebildet werden muss. Am besten kann man sich dies wieder mit der Umschreibung der Potenzschreibweise bewusst machen. Denn eine Potenz ist nichts anderes als ein Produkt mit „n“ gleichen Faktoren „a“. Schreibt man die Potenzschreibweise nämlich aus, so ergibt sich:

aⁿ/a^m=( a∗a∗..... ∗a )/( a∗.. a∗a ) ,wobei hier m < n gelten soll.

Diesen Bruch kann man jetzt kürzen, sodass der Nenner zu einer 1 wird. Das heißt, es wird aus dem Zähler m-mal „a“ gekürzt. Da vorher der Zähler aus n-mal dem „a“ bestand, ist „a“ nach dem Kürzen nur noch (n-m)-mal vorhanden. Die Basis „a“ wird also nur noch (n-m)-mal mit sich selbst multipliziert, woraus folgt:

aⁿ/a^m=a^{(n− m)}.

Übrigens gilt dies auch, wenn m > n ist. Allerdings ist dann der Exponent der neuen Potenz negativ; darauf, was dies genau zu bedeuten hat, wird ein weiteres Video eingehen.