4.3 3. Potenzgesetz

Lernvideo - 4.3 3. Potenzgesetz

Es gibt drei Arten von Potenzgesetzen: die ersten beiden beschäftigen sich mit zwei Potenzen, die den gleichen Exponenten besitzen, dafür aber eine unterschiedliche Basis haben. Das dritte und vierte Potenzgesetz sind das Gegenstück zu den beiden ersten. Bei denen werden Potenzen betrachtet mit gleicher Basis, aber unterschiedlichen Exponenten. Das 5. Potenzgesetz ist ein spezielles Gesetz für Potenzen, welches das Potenzieren von Potenzen betrachtet. Hier soll es aber jetzt um das dritte Potenzgesetz gehen.

Dieses besagt für zwei Potenzen mit gleicher Basis  aⁿ und  a^m das Folgende:

aⁿ∗a^m=a^{( n+m)}.

Die Herleitung dazu ist nicht sonderlich schwer, denn man muss einfach nur die Potenzschreibweise rückwärts anwenden und dann sieht man schon, dass das 3. Potenzgesetz gelten muss. Da aⁿ einfach nur eine verkürzte Schreibweise für a*a...*a (n-mal) und a^m für a*a*...*a (m-mal) ist, ergibt sich automatisch, dass ( a∗a∗.. ∗a ) ∗( a∗a∗... ∗a )=(a∗a∗.......... ∗a )= a^{( n+m)} ist. Man schreibt also einfach die Potenzschreibweise wieder aus und fügt die Multiplikationen einfach zusammen und wendet die Potenzschreibweise wieder an.

Am folgenden Beispiel lässt sich dies gut erkennen:
Zum Beispiel gilt für 3⁴ und 3⁷ nach dem 3. Potenzgesetz, dass

3⁴∗3⁷=3⁽⁴⁺⁷⁾=3¹¹ ist.

Was noch hilfreich sein kann ist, dass man dieses Gesetz auch bei Potenzen unterschiedlicher Basis anwenden kann, wenn eine der Basen ein Vielfaches der anderen Basis ist. Dann umschreibt man die größere Basis einfach als Produkt der kleineren Basis mit dem Vielfachen und wendet das erste Potenzgesetz an. Zum Beispiel gilt:

3⁴∗6⁷=3⁴∗ ( 2∗3)⁷= 3⁴∗2⁷∗3⁷=3⁴∗3⁷∗2⁷=3¹¹∗2⁷ ,

wobei hier zuerst das 1. Potenzgesetz angewendet wurde und danach das 3. Potenzgesetz zum Einsatz kam.