4.2 2. Potenzgesetz

Lernvideo - 4.2 2. Potenzgesetz

Das erste Potenzgesetz gibt an, wie man die Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen kann. Allerdings reicht dies noch nicht aus, denn genauso wichtig wie die Multiplikation ist die Division von Zahlen oder Termen. Das zweite Potenzgesetz befasst sich deshalb damit, wie man einen Bruch zweier Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen kann.

Betrachtet man also zwei Potenzen  aⁿ und bⁿ , so ergibt sich für das zweite Potenzgesetz folgendes:

aⁿ/bⁿ=( a∗a∗.... ∗a )/( b∗b ∗....∗b )=(a/b) ∗(a/b) ∗....∗ (a/b)=(a/b)ⁿ.

Nun zur Erklärung:

aⁿ ist nichts anderes als eine Potenzschreibweise, welche zur Abkürzung der Multiplikation einer Zahl mit sich selbst dient.  aⁿ ist also die Zahl „a“ n-mal mit sich selbst multipliziert, was im obigen Term mit a∗a∗... ∗a bezeichnet wurde. Das Gleiche gilt auch für die Potenz bⁿ. Da die zwei Potenzen beide den gleichen Exponenten haben, gibt es im Zähler des Bruchs genau so viele a wie es im Nenner b gibt; nämlich genau n-mal. Dies ist wichtig, denn nur deswegen kann man den Bruch in ein Produkt aus Brüchen mit n Faktoren zerlegen. Jeder Faktor hat im Zähler die Zahl oder den Term „a“ und im Nenner „b“. Somit sind es „n“ gleiche Faktoren. Es wird also die neue Zahl ^a/_b n-mal mit sich selbst multipliziert, was man mit der Potenzschreibweise wieder zu (^a/_b)ⁿ abkürzen kann.

Somit wären schon einmal die Multiplikation und die Division von Potenzen mit gleichem Exponenten abgedeckt. Wenn jedoch die Exponenten nicht mehr übereinstimmen, sieht das ganze etwas anders aus. Damit beschäftigen sich die weiteren Potenzgesetze.