4.1 1. Potenzgesetz
Lernvideo - 4.1 1. Potenzgesetz
Mit Hilfe von Potenzen lässt sich eine Menge Schreibarbeit sparen, denn sie sind dazu da, um Multiplikationen abzukürzen. Wird eine Zahl oder ein Term n-mal mit sich selbst multipliziert, so kürzt man dies mit der Potenzschreibweise folgendermaßen ab:
a∗a∗.... ∗a =an
wobei hier die Zahl oder der Term mit "a" dargestellt wird. Das n-malige Multiplizieren mit "a" wird mit an (Gesprochen: a hoch n) abgekürzt, wobei "a" die Basis und "n" Exponent oder Hochzahl genannt wird. Die Multiplikation ist somit der Potenzschreibweise sehr ähnlich, denn sie dient zur Abkürzung der Addition. Addiert man eine Zahl nämlich n-mal mit sich selbst, so schreibt man dies:
a + a +....+a = n∗a .
Die Potenzschreibweise ist also eine Abkürzung für das Multiplizieren einer Zahl bzw. eines Terms mit sich selbst.
Mit dieser Schreibweise ergeben sich auch neue Rechengesetze. Denn man kann auch mit Potenzen rechnen, wobei diese ihre eigenen Rechenregeln haben. Die erste Rechenregel wird auch als „1. Potenzgesetz“ bezeichnet. Dabei wird untersucht, wie man das Produkt zweier Potenzen mit gleichem Exponenten zusammenfassen kann. Also wie kann man an∗bn zusammenfassen?
Es ist bekannt, dass man bei der Multiplikation die Zahlen vertauschen kann, also dass es egal ist, ob a∗b oder b∗a gerechnet wird. Dies macht man sich nun bei der Potenzschreibweise zunutze. Denn an∗bn ist nichts anderes als:
an∗bn=( a ∗a... ∗a ) ∗( b∗b...∗b )=( a∗b ) ∗( a∗b ) ... ∗( a∗b )=( a∗b )n.
Somit folgt das erste Potenzgesetz, welches besagt:
Für zwei Potenzen mit gleichem Exponenten an und bn gilt:
an∗bn=( a ∗b )n.
