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11.7.9 Anwendungen des Kosinussatzes (SWS)

11.7.9 Anwendungen des Kosinussatzes (SWS)

Lernvideo - 11.7.9 Anwendungen des Kosinussatzes (SWS)

Durch den Satz des Pythagoras ist es möglich, eine Seitenlänge in einem rechtwinkligen Dreieck zu berechnen, wenn zwei andere Seitenlängen gegeben sind. Da dies jedoch nur in rechtwinkligen Dreiecken der Fall ist, hat man nach einer Formel gesucht, die es für beliebige Dreiecke ermöglicht.
Dadurch kam man zunächst auf den Sinussatz, der dann die Seitenlängen und Winkel eines beliebigen Dreiecks berechnen kann, wenn ein Winkel, eine gegenüberliegende Seite und eine dritte Angabe gegeben sind. Doch dies war noch nicht allgemein genug, da Fälle auftauchen konnten, in denen man auch den Sinussatz nicht gebrauchen konnte. Deshalb kam man auf eine noch allgemeinere Formel: dem Kosinussatz.

Die Formel für den Kosinussatz lautet:

a2=b2+ c2−2bc∗cos ( α ) ,

wobei a, b und c die Seiten des Dreiecks und α den gegenüberliegenden Winkel von a angeben. Hier fällt auf, dass für einen Winkel von 90° der Kosinus in der Formel 0 wird und somit alles nach dem Minuszeichen wegfällt. Übrig bleibt dann nur noch der Satz des Pythagoras, welcher nur in rechtwinkligen Dreiecken gültig ist. Daher ist es nicht überraschend, dass bei einem Winkel von 90° der Satz des Pythagoras auftaucht. Daraus lässt sich schließen, dass der Kosinussatz einfach eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras auf beliebige Dreiecke ist.

Da der Kosinussatz etwas komplizierter als der Sinussatz bzw. Satz des Pythagoras ist, kommt er zum Einsatz, sobald die beiden anderen Formeln zu keine Ergebnis führen. Normalerweise ist das genau dann der Fall, wenn nur zwei Seiten und der von den zwei Seiten eingeschlossene Winkel gegeben sind. Falls es kein rechtwinkliges Dreieck ist, hilft hier weder der Sinussatz noch der Satz des Pythagoras nicht.

Um die Formel des Kosinussatz nun richtig anwenden zu können, muss man darauf achten, dass der gewählte Winkel gegenüber der gesuchten Seite liegt, da der Kosinussatz nur so gültig ist. Setzt man also nun α ein und benutzt b und c für die übrigen Seiten, dann ergibt sich daraus das Quadrat der gesuchten Seite. Also muss man noch die Wurzel ziehen, um die gesuchte Seite zu erhalten.

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