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11.7.8 Beweis des Kosinussatzes

11.7.8 Beweis des Kosinussatzes

Lernvideo - 11.7.8 Beweis des Kosinussatzes

Da die meisten Sätze für Dreiecke nur in rechtwinkligen Dreiecken gültig sind, versucht man natürlich auch für beliebige Dreiecke ähnliche Sätze zu finden, um bei den Berechnungen möglichst wenig Bedingungen beachten zu müssen. Ein bekannter Satz, der für alle Dreiecke gilt, ist der Sinussatz. Jedoch hat dieser einen Haken: der Sinussatz lässt sich nämlich nicht benutzen, wenn zwar alle drei Seiten bekannt sind, aber kein einziger Winkel gegeben ist. Für diesen Fall gibt es aber einen anderen Satz, den man benutzen kann: der Kosinussatz. Dieser besagt Folgendes: a2=b2+c2−2bc∗cos ( α) , wobei a, b, c die Seiten sind und der Winkel gegenüber der Seite „a“ liegt.

Der Kosinussatz lässt sich herleiten, indem man ein beliebiges Dreieck betrachtet und in diesem Dreieck nun die Höhe einträgt. Die Höhenlinie eines Dreiecks steht immer senkrecht auf der Grundseite, wodurch zwei kleinere Dreiecke entstehen, die rechtwinklig sind. Innerhalb dieser beiden Dreiecke kann man nun alle Sätze, die man über rechtwinklige Dreiecke kennt, anwenden.

Insbesondere gilt also der Satz des Pythagoras, den man auf beiden rechtwinkligen Dreiecken anwendet. Da die Grundseite des Dreiecks durch die Höhe geteilt wird, nennt man eine Teilstrecke davon „p“ und die andere Teilstrecke „q“. Dann gilt nach Satz des Pythagoras also:

a2= p2+h2 und b2=q2+h2 ,

wobei p,q die Teilstrecken der Grundseite, h die Höhe des Dreiecks und a, b die Katheten des beliebigen, nicht rechtwinkligen Dreiecks sind. Diese beiden gleichen haben eine Variable gemeinsam: die Höhe „h“. Im nächsten Schritt löst man eine Gleichung nach h2 auf und setzt es dann in die andere Gleichung ein. Daraus folgt:

a2= p2+b2−q2   .

Es ist aber auch bekannt, dass p + q = c gilt, womit man dann folgern kann:

p =c − q und somit  p2=( c −q )2=c2−2cq +q2. Setzt man das nun in die obere Gleichung ein, so erhält man:

a2=( c2− 2cq +q2)+b2−q2=b2+c2− 2cq .

Es fällt also das q² aus der Gleichung weg. Allerdings hat man in der Gleichung immer noch eine Teilstrecke q enthalten, was stört. Um dieses q auch noch zu entfernen, braucht man noch eine andere Gleichung, die man über den Kosinus erhält (deswegen auch Kosinussatz). Es gilt nämlich für die Teilstrecke q:

cos ( α )=q/b   also   q =cos ( α ) ∗b .

Dies eingesetzt ergibt dann endlich den Kosinussatz:

a2=b2+c2−2bc∗cos ( α) .

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