11.7.7 Sonderfall des Sinussatzes

Lernvideo - 11.7.7 Sonderfall des Sinussatzes

Eigentlich heißt es, dass der Sinussatz nur dann angewendet werden kann, wenn mindestens ein Winkel mit gegenüber liegender Seite gegeben ist, da nur so das Verhältnis berechnet werden kann, welches im Dreieck gilt. Das bleibt auch prinzipiell richtig, jedoch gibt es auch noch andere mathematische Hilfssätze, mit denen man Informationen über beliebige Dreiecke ausrechnen kann, ohne ein solches Informationspaar zu haben. Zuerst aber nochmal kurz zum Sinussatz. Der Sinussatz besagt, dass folgende Verhältnisse in einem beliebigen Dreieck (also nicht auf rechtwinklige beschränkt!) gleich sind:

( sin ( α ))/a=( sin ( β) )/b=( sin ( γ ) )/c   .

Also das Verhältnis einer Seite zum gegenüber liegenden Winkel ist in einem Dreieck an allen Winkeln und Seiten gleich.

Um mit diesem Satz allerdings rechnen zu können, muss eigentlich ein solcher Bruch gegeben sein, damit man auf die anderen Brüche schließen kann, da sonst zu viele unbekannte Variablen enthalten sind, um eine genaue Lösung zu erhalten. Allerdings gibt es einen Sonderfall! Und zwar ist es auch möglich, den Sinussatz anzuwenden, wenn eine Seite und die zwei anliegenden Winkel gegeben sind. Denn es gibt eine einfache Regel zu Dreiecken, womit man den dritten Winkel, also den gegenüber liegenden Winkel zur gegebenen Seite, berechnen kann. In einem beliebigen Dreieck gilt nämlich, dass die Winkelsumme genau 180° beträgt, also:

α+β+ γ =180 ° . Sind die zwei Winkel  α , β schon gegeben, so ergibt sich der Wert für  γ aus:  γ=180 ° −α −β .

Es ist sofort zu erkennen, dass es keine Rolle spielt, welche zwei Winkel und deren anliegende Seitegegeben sind, da im Beispiel zwei beliebige Winkel gewählt wurden. Aber dies ist nur ein Spezialfall und im Normalfall fällt der Schritt, in dem man den dritten Winkel berechnet weg.