11.7.6 Anwendungen des Sinussatzes

Lernvideo - 11.7.6 Anwendungen des Sinussatzes

Nicht jede Aufgabe in der Planimetrie beschäftigt sich mit rechtwinkligen Dreiecken. Manchmal muss man sich auch mit etwas unschöneren, beliebigen Dreiecken auseinandersetzen, um eine Lösung zu erhalten. Das Problem an der Sache ist, dass dazu gewisse Hilfsmittel, die man für rechtwinklige Dreiecke hat, hier nicht anwenden kann. Allerdings gibt es Verallgemeinerungen dieser Sätze, die zwar nicht so handlich, aber genauso nützlich sind, und in beliebigen Dreiecken gelten. Eine dieser Verallgemeinerungen ist der Sinussatz:

( sin α)/a=( sin β)/b=( sin γ )/c   .

Das Verhältnis zwischen dem Sinuswert eines Winkels und der Hypotenuse des Winkels sind in allen drei Punkten im Dreieck gleich.

Allerdings gibt es auch bei dem Sinussatz einen Haken: um ihn anwenden zu können, benötigt man statt der Nebenbedingung eines rechten Winkels eine dritte Information über das Dreieck, also eine weitere Seitenlänge oder eine weitere Winkelgröße. Denn wie man leicht feststellen kann, kann man mit den Gleichungen des Sinussatzes nur dann einen Wert berechnen, wenn drei der vier vorkommenden Werte gegeben sind.

Um also einen Nutzen vom Sinussatz ziehen zu können, benötigt man zuerst einen Winkel und die Seitenlänge der Seite, die gegenüber dem gegebenen Winkel liegt. Damit lässt sich dann nämlich schon einmal das Verhältnis berechnen, welches an allen drei Punkten im Dreieck gilt. Hat man nun eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel gegeben, so lässt sich die gegenüber liegende Seite bzw. der gegenüber liegende Winkel mit dem Sinussatz berechnen.