11.7.5 Beweis des Sinussatzes

Lernvideo - 11.7.5 Beweis des Sinussatzes

Da trigonometrische Funktionen nur innerhalb eines rechtwinkligen Dreiecks funktionieren und auch andere Hilfssätze wie der Satz des Pythagoras diese Einschränkung haben, versucht man natürlich, auf möglichst einfache Art und Weise die Regeln zu erweitern, sodass man die Berechnungen auch in einem beliebigen Dreieck ausführen kann. Eine Möglichkeit dazu bietet nun der sogenannte Sinussatz. Dieser Satz bezieht sich auf allgemeine Dreiecke; er ist also auf alle Dreiecke anwendbar: sowohl rechtwinklige als auch nicht-rechtwinklige.

Der Sinussatz enthält, wie der Name schon vermuten lässt, den Sinus, also eine der drei trigonometrischen Funktionen. Betrachtet man sich ein beliebiges Dreieck, so lässt sich schnell feststellen, dass man es durch Hilfe der Höhe des Dreiecks in zwei kleinere Dreiecke teilen kann. Die Höhe bezeichnet dabei die Linie von der Grundseite zum höchsten Punkt des Dreiecks, wobei diese senkrecht auf der Grundseite stehen muss. Das heißt, dass die zwei Winkel, die die eingezeichnete Höhe an der Grundseite hat, beides rechte Winkel sind. Also trennt die Höhe ein beliebiges Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, womit innerhalb dieser alle drei der trigonometrischen Funktionen, insbesondere also der Sinus, gelten. Wendet man nun den Sinus auf die Winkel in beiden Dreiecken an, die nicht an der Höhe des Dreiecks anliegen, so erhält man
Folgendes: 

sin ( α) = h / a

sin ( β)= h / b

, wobei a und b jeweils die Hypotenuse der Dreiecke sind und h die Höhe des beliebigen Dreiecks beschreibt. Da es sich bei der Höhe jeweils um die gleiche
handelt, so kann man, wenn man beide Gleichungen nach h aufgelöst hat, diese gleichsetzen. Teilt man die neu erhaltene Gleichung dann noch durch beide Hypotenusen, so erhält man schließlich den Sinussatz:

( sin α) / a = ( sin β) / b .

Der Sinussatz besagt also, dass das Verhältnis des Sinuswerts eines Winkels zur Hypotenuse bei allen drei Winkeln im Dreieck gleich ist. Und dies gilt in allen Dreiecken und nicht nur in rechtwinkligen! Dass dies in allen drei Winkeln gelten muss, liegt daran, dass man die Höhe auch auf einer anderen Seite im Dreieck ziehen kann und somit zwei andere Winkel betrachtet. Trotzdem kann man den Sinussatz herleiten, nur eben mit zwei anderen Winkeln.