11.7.4 Übung zu Dreiecksberechnungen (gleichschenklig)
Lernvideo - 11.7.4 Übung zu Dreiecksberechnungen (gleichschenklig)
Da Mathematik im ersten Moment nicht immer sehr anschaulich ist, sind Übungsaufgaben optimal, um Sachverhalte zu vertiefen und letzten Endes die Thematik komplett zu verstehen. Hier wird Dir eine Übungsaufgabe mit Lösungsweg vorgegeben. Für den optimalen Trainingseffekt solltest Du nach der Aufgabenstellung das Video pausieren und versuchen, die Aufgabe alleine zu lösen. Später kannst Du dann nachsehen, ob dein Lösungsweg zum richtigen Ergebnis gelangt ist, und falls nicht, was der richtige Weg gewesen wäre.
Diese Übungsaufgabe handelt von Berechnungen innerhalb eines Dreiecks mit trigonometrischen Funktionen. Genauer gesagt von Berechnung in einem gleichschenkligen Dreieck. Zur Erinnerung: ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich lange Seiten und zwei gleich große Winkel. Dies sagt nichts anderes aus, als dass man es längs der Mitte spiegeln kann. Mit trigonometrischen Funktionen sind der Sinus, Kosinus und Tanges gemeint. Diese gelten bekannterweise nur in einem rechtwinkligen Dreieck, also benutze sie nicht unbegründet in einem gleichschenkligen Dreieck, denn dort stimmen die Ergebnisse dann nicht mehr.
Nun zur Übungsaufgabe:
Ein Blumenbeet soll bewässert werden. Dafür wird ein Rasensprenger außerhalb des Blumenbeets aufgestellt, sodass er in der Mitte der Länge des Blumenbeets steht. Der Rasensprenger kann alles in einem Winkel von 40° bewässern. Die Frage ist nun, wie weit der Rasensprenger vom Blumenbeet entfernt sein muss, um das ganze Beet zu bewässern, wenn das Blumenbeet genau 35m lang ist.
Um überhaupt erst einmal die genaue Aufgabenstellung zu verstehen, hilft meist eine grobe Skizze. Dadurch erkennt man meistens erst die Lösungsschritte für eine Aufgabe. In der Skizze sollte auf jeden Fall das Beet mit einer Länge von 35m(Breite ist hier egal) und der Rasensprenger vorkommen. Verbindet man nun die Enden des Beets mit dem Punkt, an dem der Rasensprenger steht, so ergibt sich ein gleichschenkliges Dreieck. Jetzt muss noch eingetragen werden, was gesucht ist: die Entfernung zwischen Beet und Sprenger. Dies ist allerdings nicht anderes als die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks! Die Höhe teilt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke mit der Eigenschaft, dass diese einen rechten Winkel besitzen, wodurch sich innerhalb dieser nun die trigonometrischen Funktionen benutzen lassen. Dazu benötigt man noch ein paar Informationen über die zwei kleineren Dreiecke: Zuerst ist klar, dass die zwei Dreiecke kongruent (d.h. deckungsgleich) sind, da sich ein gleichschenkliges Dreieck in der Mitte spiegeln lässt. Die Seitenlängen zum Beet hin sind genau die Hälfte der Beetlänge, also 17,5m Und der Winkel am Rasensprenger wird halbiert durch die Höhenlinie, also betragen die Winkel dort jeweils 20°. Mit Hilfe des Tanges lässt sich somit die Höhe des Dreiecks und somit der Abstand von Rasensprenger und Beet bestimmen:
tan ( 20 ° )= 17,5h => h =tan ( 20 ° ) ∗17,5≈ 48,08.
Die Höhe des Dreiecks beträgt also ungefähr 48,08m. Die Antwort zur Aufgabe lautet also: Der Rasensprenger sollte rund 48m vom Blumenbeet entfernt stehen, um das ganze Beet zu bewässern.
