11.7.10 Anwendungen des Kosinussatzes (SSS)
Lernvideo - 11.7.10 Anwendungen des Kosinussatzes (SSS)
Leider reichen manchmal die zwei einfachen Formeln des Sinussatzes bzw. des Satzes des Pythagoras nicht aus, um alles innerhalb eines Dreiecks berechnen zu können. Deshalb muss man auf eine etwas kompliziertere Formel zurückgreifen, die jedoch alle gewünschten Größen berechnen kann: der Kosinussatz.
Falls der Fall erscheinen sollte, dass zwar alle drei Seiten in einem Dreieck gegeben sind, aber kein einziger Winkel angegeben wird, so muss man auf den Kosinussatz zurückgreifen. Für den Satz des Pythagoras wäre es nämlich nicht möglich, etwas zu berechnen, da nur die drei Seiten eines Dreiecks in der Formel auftauchen. Diese sind jedoch alle gegeben, weshalb dieser Satz zu nichts führt. Aber auch der Sinussatz bringt keine neuen Erkenntnisse, da mindestens ein Winkel gegeben sein muss. Also können wir diesen Satz auch nicht anwenden.
Um den Kosinussatz nun anwenden zu können, benutzt man diese Formel:
a2=b2+c2−2bc∗cos ( α) .
Dabei stellen a, b und c die Seitenlängen und α den gegenüberliegenden Winkel von a dar. Es ist wichtig, dass der Winkel gegenüber der Seite liegt, die in die linke Seite der Gleichung eingesetzt wird. Sind also nun alle drei Seiten des beliebigen Dreiecks gegeben, so setzt man die Seiten so ein, dass die Seite, die gegenüber des gesuchten Winkels liegt, in die linke Seite der Gleichung eingesetzt wird. Denn nur so erhält man auch den richtigen Winkel. Wird es nämlich falsch eingesetzt, so berechnet man einen anderen Winkel im Dreieck und deshalb gibt man falsche Winkelangaben. Nachdem nun ein Winkel mit Hilfe des Kosinussatzes ausgerechnet wurde, benötigt man den Kosinussatz nicht mehr, da ab sofort der Sinussatz angewendet werden kann, da nun zwei Seiten und ein Winkel, der gegenüber einer angegebenen Seite liegt, gegeben sind. Mit dem Sinussatz lässt sich nun ein zweiter Winkel berechnen. Zuletzt fehlt noch der dritte Winkel, welcher mit dem Winkelsummensatz ganz leicht zu berechnen ist. Da alle Winkel eines Dreiecks zusammengerechnet 180° ergeben müssen, zieht man die zwei ausgerechneten Winkel von 180° ab, um den letzten Winkel zu erhalten.
