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11.7.1 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

11.7.1 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Lernvideo - 11.7.1 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Wenn man Dreiecke genauer betrachtet, so stellt man fest, dass, sobald zwei Seiten gegeben ist, die dritte Seite vorherbestimmt ist; man muss nur noch die beiden Endpunkte der gegebenen Seiten verbinden. Daraus lässt sich schließen, dass die Seitenlänge der dritten Seite des Dreiecks von den Seitenlängen der gegebenen Seiten und der Größe des gegebenen Winkels abhängig ist. Im Falle von rechtwinkligen Dreiecken lässt sich mit Hilfe von trigonometrischen Funktionen die Verhältnisse der Seitenlängen und Winkeln innerhalb der Dreiecke beschreiben und berechnen. Dazu sind die Funktionen Sinus, Kosinus und Tanges gedacht.

Betrachte zunächst ein rechtwinkliges Dreieck: die Punkte des Dreiecks werden entgegen dem Uhrzeigersinn mit A, B und C bezeichnet. Im Allgemeinen bezeichnet man den Punkt, an dem der rechte Winkel liegt, mit C. Die Seiten des Dreiecks werden nach dem gegenüberliegenden Punkt in Kleinbuchstaben bezeichnet. Die Winkel im Dreieck werden mit  α , β und γ bezeichnet und liegen am Punkt A, B bzw. C. Jetzt gilt es noch, Begriffe im Dreieck zu erklären. Wenn man sich das rechtwinklige Dreieck betrachtet, so stellt man fest, dass es eine längste Seite geben muss. Dies ist die Hypotenuse. Sie liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Die beiden anderen Seiten werden Katheten genannt. Schaut man sich nun einen Winkel im Dreieck an, der kein rechter Winkel ist, so sieht man, dass eine der Katheten direkt am Winkel liegt, während die andere Kathete gegenüber dem Winkel liegt. Die anliegende Kathete nennt man Ankathete und die andere Kathete Gegenkathete. Es hängt natürlich vom Winkel ab, welche Kathete nun die Ankathete und welche die Gegenkathete ist. Nachdem also die Notation für Dreiecke geklärt ist, lassen sich die trigonometrischen Funktionen leichter beschreiben.

Betrachtet man zum Beispiel den Winkel  α , so lässt sich leicht einsehen, dass die Länge der Gegenkathete von der Größe des Winkels abhängt. Je größer der Winkel  α , desto länger die Gegenkathete. Dieses Verhältnis beschreibt der Sinus. Der Sinus wird abgekürzt mit  sin ( α ) und es gilt: 

sin ( α)= Gegenkathete / Hypotenuse.

Das zweite Verhältnis beschreibt die Beziehung zwischen der Ankathete und der Hypotenuse und es gilt: 

cos ( α )= Ankathete / Hypotenuse.

Hier steht „cos“ für Kosinus. Der Kosinus ist dem Sinus also sehr ähnlich, nur dass es sich in seinem Verhältnis um die Ankathete statt um die Gegenkathete handelt.

Das dritte Seitenverhältnis beschreibt das einzige, dass noch übrig ist: das Verhältnis der beiden Katheten im Dreieck. Dieses Verhältnis wird Tangens genannt und teilt die Gegenkathete durch die Ankathete. Er wird mit „tan“ abgekürzt und in Formeln geschrieben gilt:

tan ( α )= Gegenkathete / Hypotenuse.

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