11.6.5 Umkehrung des Satzes des Pythagoras

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Hinter dem Satz des Pythagoras steckt mehr, als man zunächst sehen mag. Anscheinend lassen sich damit nur Seitenlängen eines Dreiecks berechnen, jedoch ist dies nicht ganz richtig. Denn es gibt einen wichtigen Fakt über diesen Satz. Er gilt nämlich einzig und allein in einem rechtwinkligen Dreieck und in keinem anderen. Diesen Fakt kann man sich zu Nutze machen.

Also der Satz des Pythagoras besagt, dass die Summe der Quadrate der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks gleich dem Quadrat der Hypotenuse ist. Falls man nun aber nicht weiß, ob es sich wirklich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt, man aber stattdessen alle drei Seiten des Dreiecks kennt, so lässt sich mit Hilfe des Satzes des Pythagoras bestimmen, ob es sich eben um ein rechtwinkliges Dreieck handelt oder nicht. Gilt nämlich der Satz des Pythagoras für dieses Dreieck, so weiß man, dass es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss, da er nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt! Daran erkennt man also, dass die Seitenlänge der Hypotenuse vom gegenüberliegenden Winkel abhängt und falls dieser 90° beträgt, so gilt eben der Satz des Pythagoras.

Jedoch kann man noch mehr über das Dreieck aussagen. Falls es sich nämlich nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handeln sollte, ist es manchmal interessant zu wissen, um was für eine Art Dreieck es sich denn nun handelt. Auch dazu eignet sich der Satz des Pythagoras. Setzt man nämlich die Werte der Seiten ein, so sieht man, ob die Summe der Quadrate der scheinbaren Katheten größer oder kleiner als das Quadrat der scheinbaren Hypotenuse ist. Ist die Summe größer, so kann es sich schon mal nicht um ein rechtwinkliges Dreieck handeln, aber man weiß, dass die Hypotenuse kleiner ausgefallen ist als in deinem rechtwinkligen Dreieck. Das wiederum muss heißen, dass der gegenüberliegende Winkel der Seite kleiner als 90° sein muss, da je größer der Winkel ist, umso größer wird auch die gegenüberliegende Seite. Umgekehrt gilt auch: falls die Summe kleiner sein sollte, so muss die angebliche Hypotenuse größer ausgefallen sein als bei einem rechtwinkligen Dreieck, weshalb der gegenüberliegende Winkel nun größer als 90° sein muss.