11.6.4 Übung zum Kathetensatz
Lernvideo - 11.6.4 Übung zum Kathetensatz
Nachdem man viele Sätze und Beweise aus der Mathematik lernen musste, hilft es meist, sich an Beispielen klar zu machen, wofür die ganzen Formeln nun zu gebrauchen sind und wie man sie wirklich einsetzt. Dafür gibt es nun Beispiele für den Höhen- und den Kathetensatz.
Das Dach eines alten Hauses muss saniert werden. Aus Bauplänen ist bekannt, dass die beiden Dachflächen einen rechten Winkel einschließen. Außerdem befindet sich ein Stützbalken senkrecht auf dem Boden stehend, der vom höchsten Punkt des Daches zum Boden verläuft. Die einzigen Werte, die Du herausfinden kannst, sind die Längen der Strecken auf dem Boden vom Stützbalken zum linken und zum rechten Dachende. Die Strecke von links bis zum Stützbalken beträgt 2,15m und die Strecke vom Stützbalken nach rechts beträgt 6,35m. Der ganze Dachboden beträgt also eine Länge von 8,5m. Alles andere ist nicht messbar. Du musst für die Sanierungsarbeiten sowohl die Höhe als auch die Länge der Dachseiten herausfinden.
Um Aufgaben solcher Art zu lösen, benötigt man zuerst eine Skizze, weil dadurch vieles ersichtlicher wird und die Aufgabe wesentlich leichter fällt. Durch eine Skizze wird schnell offensichtlich: das Dach bildet ein rechtwinkliges Dreieck, wobei die Dachseiten die zwei Katheten und der Dachboden die Hypotenuse darstellen. Auch die Höhe des Dreiecks lässt sich in die Skizze eintragen. Sie wird durch den Stützbalken dargestellt, da dieser senkrecht auf der Hypotenuse, dem Dachboden, steht. Die zwei gemessenen Werte entsprechen genau den zwei
Hypotenusenabschnitten.
Um die Höhe nun zu berechnen, benutzt man offensichtlich den Höhensatz. Durch das Multiplizieren der beiden Hypotenusenabschnitte erhält man das Quadrat der Höhe. Zieht man nun die Quadratwurzel aus dem Produkt, so kennt man die Höhe des Daches. Um die Länge der Dachseiten zu erhalten, die die Katheten des Dreiecks darstellen, benutzt man nun den Kathetensatz. Also einfach das Produkt aus der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt bilden und daraus die Wurzel ziehen. So erhält man die beiden Kathetenlängen.
