11.6.3 Höhen- und Kathetensatz

Lernvideo - 11.6.3 Höhen- und Kathetensatz

Das rechtwinklige Dreieck ist eine wichtige Konstruktion in der Mathematik, weshalb über dieses Dreieck auch viele Sätze und Beweise existieren. Neben dem Satz des Pythagoras gibt es noch zwei weitere wichtige Sätze: den Höhensatz und den Kathetensatz. Der Grund, warum der Satz des Pythagoras bekannter als die beiden anderen Sätze ist, liegt daran, dass man für den Satz des Pythagoras nur die drei Seiten des Dreiecks braucht, während man für die beiden anderen Sätze noch weitere Hilfslinien einzeichnen muss; diese Sätze sind also nur etwas spezieller anwendbar als der Satz des Pythagoras.

Die Hilfslinie, die man für die beiden Sätze braucht, ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks. Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist eine senkrecht zur Hypotenuse verlaufende Linie, die den Eckpunkt gegenüber der Hypotenuse kreuzt. Dadurch wird die Hypotenuse in zwei Teilstrecken geteilt, welche man als p und q bezeichnet. Betrachtet man nun das innere des Dreiecks, fällt auf, dass durch die Höhe zwei kleinere Dreiecke gebildet wurden, die ebenfalls rechtwinklig sind. Dabei sind die Katheten des großen Dreiecks nun die Hypotenusen der beiden kleinen Dreiecke.

Mit diesen Begrifflichkeiten lassen sich nun die zwei obigen Sätze herleiten. Der Kathetensatz bezieht sich auf die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks. Dieser besagt, dass das Quadrat der Kathete des großen Dreiecks gleich dem Produkt aus Hypotenuse und anliegendem Hypotenusenabschnitt ist. Hierbei ist Vorsicht geboten, da man sehr schnell den falschen Hypotenusenabschnitt auswählt. Also achte darauf, dass der gewählte Hypotenusenabschnitt auch derjenige ist, der an der gewählten Kathete ankreuzt.

Der Höhensatz ist etwas einfacher zu formulieren und sagt einfach aus, dass die Höhe zum Quadrat gleich dem Produkt der beiden Hypotenusenabschnitte ist. Also lässt sich die Höhe des Dreiecks durch die Hypotenusenabschnitte berechnen.