11.6.2 Beweis des Satzes des Pythagoras
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Fast jeder kennt den Satz des Pythagoras und weiß sofort, wie man ihn anwenden muss. Doch die wenigsten Leute wissen, warum dieser Satz überhaupt gilt. Was ist der Grund, warum die Seitenlängen im Quadrat voneinander abhängen? Und vor allem, wie kam man darauf, dass man die Seitenlängen ausgerechnet quadrieren muss, um die dritte Seite im Quadrat zu erhalten? Die Herleitung ist an sich nicht sonderlich schwer, jedoch muss man verstanden haben, was genau der Satz des Pythagoras aussagt.
Der Beweis für den Satz des Pythagoras geht über Flächeninhalte von Quadraten und Dreiecken. Das erklärt auch, warum die Quadrate der Seitenlängen im Satz des Pythagoras gebildet werden. Zunächst zeichnet man ein beliebiges, rechtwinkliges Dreieck und markiert die Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit c. Als zweiten Schritt zeichnet man ein Quadrat, dessen Seitenlängen der Summe der Katheten (a+b) entsprechen. Die Seiten des Quadrats lassen sich also in einen „aAbschnitt“ und in einen „b-Abschnitt“ unterteilen. Verbindet man nun innerhalb des Quadrats den „a-Abschnitt“ mit dem „b-Abschnitt“ der anliegenden Seite, so ergibt sich ein Dreieck, das eine exakte Kopie des im ersten Schritt gezeichneten Dreiecks ist. Dieses Dreieck kann man genau vier mal in diesem Quadrat auf die gleiche Vorgehensweise erstellen, womit man vier gleiche Dreiecke hat. Nun berechnet man den Flächeninhalt des Quadrats auf zwei Wegen: zuerst die gängige Methode, den Flächeninhalt eines Quadrats auszurechnen. Man quadriert eine Seitenlänge. Also gilt für den Flächeninhalt des Quadrats schon mal:
( a + b)2=a2+ 2ab+ b2.
Nun lässt sich der Flächeninhalt auch über die Fläche der Dreiecke ausdrücken. Es gibt insgesamt vier gleich große Dreiecke. Dazu kommt noch ein kleineres Quadrat mit der Seitenlänge c, da es von den Hypotenusen der vier Dreiecke eingeschlossen ist. Also ergibt sich als Flächeninhalt des Quadrats diesmal:
4∗ ( 0.5 ∗a∗b )+c2.
Dieser Term muss den gleichen Wert haben wie der ursprünglich
berechnete Term für den Flächeninhalt. Das heißt es gilt:
a2+ 2ab+ b2= 2ab+ b2, woraus folgt:
a2+ b2=c2.
Damit ist der Satz des Pythagoras bewiesen.
