11.6.1 Satz des Pythagoras
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Jeder hat schon einmal vom Satz des Pythagoras gehört. Er ist wohl der bekannteste Satz in der ganzen Mathematik, was nicht zuletzt daran liegt, dass er sehr einfach zu verstehen ist und fast überall angewendet werden kann. Doch was genau er besagt und wie man ihn richtig anwendet, muss natürlich zunächst gelernt werden.
Zuerst einmal gilt der Satz des Pythagoras nur in rechtwinkligen Dreiecken, also Dreiecken, die einen Winkel mit genau 90° beinhalten. In solch einem Dreieck lassen sich die Seiten des Dreiecks in zwei verschiedene Kategorien einordnen: die Seite gegenüber dem rechten Winkel wird Hypotenuse genannt und ist die längste Seite des Dreiecks, da der 90°-Winkel der größte Winkel im Dreieck ist und somit die gegenüberliegende Seite am weitesten aufgespannt wird. Die zwei anderen Seiten, die am 90°-Winkel liegen, nennt man Katheten, wobei nur zwischen erster und zweiter Kathete unterschieden wird, wobei dies beliebig zugeordnet werden kann.
Der Satz des Pythagoras macht eine Aussage über die Seitenlängen der Seiten des Dreiecks. Nimmt man nämlich die Seitenlänge erste Kathete zum Quadrat und addiert das Quadrat der Seitenlänge der zweiten Kathete, so ergibt diese Summe das Quadrat der Seitenlänge der Hypotenuse. Bezeichnet man die beiden Katheten mit a und b und die Hypotenuse mit c, so ergibt sich als Formel also:
a2 + b2 = c2 .
Mit Hilfe dieser Formel kann man nun die Seitenlängen eines Dreiecks berechnen, solange zwei Seiten bekannt sind.
Besonders nützlich erweist sich der Satz des Pythagoras dabei, Diagonalen auszurechnen. Zum Beispiel in einem Quadrat oder Rechteck lässt sich durch den Satz des Pythagoras berechnen, wie lang die Diagonale sein muss, wenn man die Diagonale als Hypotenuse betrachtet und zwei Seiten des Rechtecks als Katheten.
