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Winkelsummensatz

Winkelsummensatz

Lernvideo - Winkelsummensatz

Ein grundlegender Satz in der Planimetrie macht eine Aussage über das Winkelverhältnis in einem beliebigen Dreieck. Der sogenannte Winkelsummensatz besagt nämlich, dass die Summe aller drei Winkel in einem Dreieck 180° ergibt. Dabei ist es völlig egal, ob das Dreieck ein rechtwinkliges, gleichschenkliges oder irgendein spezielles Dreieck ist. Dieser Satz gilt für alle erdenklichen Dreiecke. Für die Herleitung dieses Satzes benötigt man die speziellen Winkelpaare an Schnittpunkten von zwei oder mehr Geraden.

Um die geometrische Herleitung zu beginnen, fängt man damit an, zwei beliebige Seiten des Dreiecks über deren gemeinsamen Schnittpunkt hinaus zu verlängern. Als zweiten Schritt wird eine zur dritten Seite des Dreiecks parallel verlaufende Gerade durch den Schnittpunkt der zwei verlängerten Geraden gezogen. Dadurch bilden sich über der parallel gezogenen Geraden drei Winkel. Nun kommen die speziellen Winkelpaare zum Einsatz. Es lässt sich nämlich schnell erkennen, dass der mittlere der drei neuen Winkel ein Scheitelwinkel zum Winkel am Schnittpunkt der zwei verlängerten Geraden ist, da diese sich gegenüber liegen. Die anderen beiden Winkel sind jeweils Stufenwinkel, wobei der linke der neuen Winkel der Stufenwinkel zum rechten Winkel des Dreiecks und der rechte neue Winkel der Stufenwinkel zum linke Winkel des Dreiecks ist, da diese an den verlängerten Seiten des Dreiecks anliegen. Nun kann man allen drei neuen Winkel eine Größe zuordnen, die sich im Dreieck wiederfinden lässt. Nun sieht man leicht, dass man auf der zuletzt eingezeichneten Geraden einen Halbkreis ziehen kann, der alle drei neuen Winkel umfasst. Da ein Halbkreis genau 180° beträgt, muss das heißen, dass alle drei neuen Winkel zusammengerechnet 180° ergeben. Da jeder der drei Winkel genau einem Winkel im Dreieck entspricht, folgt daraus, dass alle Winkel im Dreieck zusammengerechnet exakt 180° ergeben müssen.

Dass der Satz über die Winkel im Dreieck so wichtig ist, liegt daran, dass er sich auf jedes beliebige Vieleck erweitern lässt. Grund dafür ist einfach, dass sich jedes beliebige Vieleck in kleinere Dreiecke unterteilen lässt.

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