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Spezielle Winkelpaare

Spezielle Winkelpaare

Lernvideo - Spezielle Winkelpaare

Das Thema Winkel spielt in der Planimetrie eine wichtige Rolle, da viele Herleitungen und Sätze nur mit Hilfe der Winkel möglich ist. Daher hat man sich die Winkel etwas genauer betrachtet und bemerkt, dass sich Winkel in Kategorien einordnen lassen und es in geometrischen Formen gewisse Winkelpaare gibt, die benutzt werden können, um die Verhältnisse zwischen den beiden Winkeln zu erkennen. Diese Winkelpaare tauchen genau dann auf, wenn sich zwei oder mehrere Geraden Schnittpunkte bilden.

Schneiden sich zwei Geraden in einem Punkt, so sieht man leicht, dass sich vier Winkel ergeben, wobei jeweils zwei exakt die gleiche Größe haben. Zwei Winkel, die sich gegenüber liegen, sind genau so ein Winkelpaar, in dem beide Winkel gleich groß sind. Dieses Winkelpaar nennt man auch Scheitelwinkel. Diese sind besonders dann sinnvoll zu benutzen, wenn man einen Winkel sucht, man aber nur den gegenüberliegenden Winkel kennt und sonst nicht anders auf den Winkel schließen kann.

Allerdings gibt es an einem Schnittpunkt zweier Geraden noch mehr Verhältnisse. Nimmt man zum Beispiel zwei Benachbarte Winkel und zählt deren Größen zusammen, so ergibt sich immer ein Winkel von 180°. Das ist leicht einzusehen, da, wenn man einen Kreis um die Gerade zeichnet, wobei die Gerade durch den Mittelpunkt des Kreises verlaufen soll, so halbiert die Gerade diesen Kreis und beiden Seiten der Gerade bleibt ein Halbkreis, der einen Winkel von genau 180° beinhaltet. Da die beiden benachbarten Winkel genau diesen Halbkreis ausfüllen, müssen sie auch zusammen 180° ergeben. Solch ein Winkelpaar nennt sich Nebenwinkel.

Um weitere Winkelpaare zu finden, müssen nun mehr Geraden her. Verlaufen zwei Geraden parallel zueinander und schneidet eine dritte Gerade die beiden parallel verlaufenden Geraden, so ergeben sich zwei Schnittpunkte mit jeweils vier Winkeln. Man erkennt sofort, dass die Winkel des ersten Schnittpunkts mit den Winkeln des zweiten Schnittpunkts exakt übereinstimmen. Daraus lässt sich nun ein weiteres Winkelpaar ableiten. Jeder Winkel des ersten Schnittpunkts hat eine exakte Kopie des Winkels an der gleichen Stelle des zweiten Schnittpunkts. So ein Winkelpaar wird Stufenwinkel genannt.

Eigentlich waren das schon alle wirklichen Winkelpaare, jedoch wird noch ein viertes Winkelpaar gezeigt, welches eigentlich eine Verbindung des ersten und dritten Winkelpaars ist. Dieses nennt sich Wechselwinkel und erklärt, dass ein Winkel im ersten Schnittpunkt genau so groß sein muss, wie der gegenüberliegende Winkel, jedoch im zweiten Schnittpunkt. Das gilt deshalb, weil zunächst der Stufenwinkel im zweiten Schnittpunkt existiert und dieser natürlich auch einen Scheitelwinkel im zweiten Schnittpunkt hat.

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