Wendepunkte von e-Funktionen bestimmen Beispiel

Lernkarte - Wendepunkte von e-Funktionen bestimmen Beispiel

Bestimme die Wendepunkte der Funktion f mit f(x)=(2-x)e^(-1/2)x!

f(x)=(2-x)e^(1/2)x            -> Ableitungen bilden(Produkt- und Kettenregel)

f'(x)=-1e^(1/2)x+(2-x)(-1/2)e^(-1/2)x

      =(-1-1+(1/2)x)e^(-1/2)=((1/2)x-2)e^(-1/2)x

f''(x)=(1/2)e^(-1/2)x+((1/2)x-2)(-1/2)e^(-1/2)x

      =(1/2-(1/4)x+1)e^(-1/2)=(1/2-(1/4)x)e^(-1/2)x

f'''(x)=(-1/4)e^(-1/2)+(1/2-(1/4)(-1/2)e^(-1/2)

       =(-1/4-3/4+(1/8)x)e^(-1/2)x=((1/8)x-1)e^(-1/2)

notwendige Bedingung:       f''(xo)=0       -> zweite Ableitung gleich "0" setzen

0=(1/2-(1/4)xo)e^(-1/2)xo                    -> nach xo auflösen

->1/2-(1/4)xo=0 oder e^(-1/2)xo

-> 1/2-(1/4)xo=0 |+(1/4)xo |*4 , da e^(-1/2) > 0

-> 6=xo

hinreichende Bedingung:               -> x-Wert in dritte Ableitung einsetzen

f'''(6)=1*6/8-1)e^(-1/2)*6=(-1/4)e^-3 < 0, d.h. der Graph von f besitzt an der

Stelle xo=6 einen Links/Rechts-Wendepunkt.

Funktionswert: yo=f(xo)       -> x-Wert in Ausgangsgleichung einsetzen

yo==f(6)(2-6)e^(-1/2)*6=-4e^-3=~-0,199

W(6/-0,199)