Extremalpunkte von e-Funktionen bestimmen Beispiel

Lernkarte - Extremalpunkte von e-Funktionen bestimmen Beispiel

Bestimme die Extremalpunkte der Funktion f mit f(x)=(3-x)e^-2x!

f(x)=(3-x)e^-2x

f'(x)=-1e^-2x+(3-x)(-2)e^-2x      -> Ableitungen bilden(Produkt- und Kettenregel)

      =(-1-6+2x)e^-2x=(2x-7)e^-2x

f''(x)=2e^-2x+(2x-7)(-2)e^-2x

       =(2-4+14)e^-2x=(16-4x)e^-2x

notwendige Bedingung: f'(xo)=0    -> erste Ableitung gleich "Null" setzen

0=(2xo-7)e^-2xo                         -> nach x auflösen

-> 0=2xo-7 oder e^-2xo=0

-> 0=2xo-7 |+7 , da e^-2xo > 0

-> 7=-2xo | :2

-> 7/2=xo

hinreichende Bedingung:                          x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen

  f'(xo)=0 und f''(xo)!=0

f''(7/2)=(16-4*7/2)e^-2*7/2

=2e^-7 > 0

d.h. der Graph von f besitzt an der Stelle xo=7/2 ein relatives Minimum

Funktionswert: yo=f(xo)       -> x-Wert in Ausgangsfunktion einsetzen

yo=f(7/2)=(3-7/2)e^-1*7/2=-(1/2)3e^-7=~-0,0005

T(7/2/(-1/2)e^-7=~(3,5/-0,0005