Extremal- und Sattelpunkte berechnen Beispiel

Lernkarte - Extremal- und Sattelpunkte berechnen Beispiel

Untersuche die Funktion f mit f(x)=3x^4-16x^3+24x^2 auf Hochpunkt,Tiefpunkt und Sattelpunkt!

f(x)=3x^4-16x^3+24x^2                                               ->Ableitungen bilden

f'(x)=12x^3-48x^2+48x

f''(x)=36x^2-96x+48

       0=12xo^3-48xo^2+48xo                         ->notwendige Bedingung:f'(xo)=0

<-> 0=xo(12xo^2-48xo+48)

<->0=xo oder 12xo^2-48xo+48=0 |:12

<->0=xo oder xo^2-4xo+4=0        |p=-4; q=4

<->0=xo oder xo=--4/2 +-Wurzel((-4/2)^2-4)

<->0=xo oder xo2=2+-Wurzel(4-4)=2

f''(0)=36*0-96*0+48-48>0 ->TP       ->hinreichende Bedingung f'(xo) ^f''(xo) !=0

f''(2)=36*4-96*2+48=0 -> ?

x1=1,9 ; x2=2,1                              -> Testwerte wählen

f'(x1)=f'(1,9)=12*1,9^3-48*1,9^2+48*1,9=0,228>0 (+) ->Steigungen berechnen

f'(x2)=f(2,1)=12*2,1^3-48*21,^2+48*2,1=0,252>0  (+)

kein Vorzeichenwechsel+/+ -> Sattelpunkt     ->Art des Punktes bestimmen

y1=f(0)=0-0+0 -> T(0/0)

y2=f(2)=48-128+96=16 -> S(2/16)               ->Funktionswerte y=f(x)